Справочные данные по математике - часть 3

Гауссовы случайные процессы

Действительная случайная величина x называется гауссовой, если ее характеристическая функция j =j (u) имеет вид

;
фигурирующие здесь параметры a и s2 имеют простой вероятностный смысл: a=Mx (среднее значение), s2 = Dx (средне-квадратичное отклонение). Соответствующее распределение вероятностей также называется гауссовым, его плотность имеет вид

Марковские случайные процессы.

Случайный процесс x =x(t) на множестве T действительной прямой в фазовом пространстве (E,B) называется марковским, если условные вероятности P(A|U(-Ґ,s) событий AО U(t,Ґ ) относительно s-алгебры U(-Ґ,s) таковы, что при s Јt с вероятностью 1

,
здесь U(u,v) означает s-алгебру порождаемую всевозможными событиями вида { x(t) О B}, t О[u,v]З T, BО B. Если параметр t интерпретировать как время, то описанное марковское свойство случайного процесса x =x (t) состоит в том, что поведение процесса после момента t при фиксированном состоянии x=x (t) не зависит от поведения процесса до момента t. Для любых событий А ОU

(-Ґ,t1) и A2О U(t1, Ґ) и при любом t О T t1 ЈtЈ t2 с вероятностью 1

P(A1A2|x (t)) = P(A1|x (t)) P(A2|x(t)).

Цепи Маркова

Пусть x (t) - состояние системы в момент времени t, и пусть соблюдается следующая закономерность: если в данный момент времени s система находится в фазовом состоянии i, то в последующий момент времени t система будет находиться в состоянии j с некоторой вероятностью pij(s,t) независимо от поведения системы до указанного момента s. Описывающий поведение системы процесс x (t) называется цепью Маркова. Вероятности pij(s,t) = p{x (t)=j|x (s)=i} (i,j = 1, 2, …) называются переходными вероятностями марковской цепи x (t).

Марковская цепь x (t) называется однородной, если переходные вероятности pij(s,t) зависят лишь от разности t-s: pij(s,t) = pij(s-t) (i,j=1,2,…)

Финальные вероятности. Пусть состояния однородной марковской цепи x (t) образует один замкнутый положительный непериодический класс. Тогда для любого состояния j существует предел (j=1, 2,…), один и тот же при всех исходных состояниях i=1,2,….